De toongeslachten

Inhoudsopgave Harmonices mundi liber Quinque

De toongeslachten

In hoofdstuk vijf van boek V brengt Kepler in een aantal stappen het verband aan tussen de planeetbewegingen en twee toongeslachten, toongeslachten die overigens uit Keplers eigen muziektheorie stammen. Deze toongeslachten lijken op de moderne majeur- en mineurtoonladder, Kepler gebruikt namelijk het zogenaamde cantus durus (toonvolgorde G-A-B-c-d-e-fis-g) en het cantus mollis (G-A-Bes-c-d-es-f-g).
Het eerste toongeslacht (cantus durus) wordt gekenmerkt door de aanwezigheid van grote terts (B), grote sext (e) en de leidtoon (fis), het tweede toongeslacht (cantus mollis) door kleine terts (Bes) en kleine sext (es). Deze zelfde intervalparen (grote/kleine) terts en sext beheersen ook de akkoorden die Kepler op basis van tabel 1 opstelt.(1)
Allereerst reduceert Kepler de snelheden van de planeten om ze binnen het octaaf te kunnen plaatsen. De reden hiervoor is dat tussen twee consonante intervallen toch dissonanten kunnen ontstaan, wanneer zij niet in een octaaf geplaatst zijn. Kepler geeft het voorbeeld van een grote terts geplaatst op een grote sext, dat een dissonant interval 12:25 zou opleveren.(2) De tabel waarin deze reducties worden weergegeven ziet er als volgt uit (zie ook afbeelding 25, het origineel uit HM.):

Tabel 2

Reductie extreme hoeksnelheden door machten van 2

1
extreme hoeksnelheid
2
planeet
3
reductie factor
4
resultaat

384’0’’ mercurius P 2⁷ (128) 3’0’’

164’0’’ A 2⁶ (64) 2’34’’

97’37’’ venus P 2⁵ (32) 3’3’’+

95’50’’ A 2⁵ (32) 2’58’’

61’18’’ aarde P 2⁵ (32) 1’55’’-

57’3’’ A 2⁵ (32) 1’47’’

38’1’’ mars P 2⁴ (16) 2’23’’-

26’14’’ A 2³ (8) 3’17’’

5’30’’ jupiter P 2² (4) 2’45’’

4’30’’ A 2² (4) 2’15’’

2’15’’ saturnus P - 2’15’’

1’46’’ A - 1’46’’

Kepler deelt de extreme hoeksnelheden door machten van twee, een voorbeeld uit tabel 2: mercurius P 384’0’’ x 60 sec. = 23040’’ : 128 = 180’’ = 3’. N.B. De + of - in de tabel betekent naar boven of beneden afgerond, een voorbeeld: mars A 26’14’’ = 1574’’ : 8 = 196,75’’ = 3’16,75’’ = 3’17’’-. Muzikaal gezien betekent dit dat hij de ‘tonen’ (de extreme hoeksnelheden) naar beneden octaveert.

De langzaamste planeet (saturnus in aphelium) kent hij de laagste toon toe: de G (Gamma ut). De aarde in aphelium komt daarmee overeen: de snelheid van saturnus is 1’46’’, die van de aarde is 1’47’’ (57’3’’ gedeeld door de vijfde macht van 2 : 57’3’’ = 3423’’ : 32 = 106,97’’ = 1’47’’-).

Het verschil van een seconde, zo merkt Kepler op, is muzikaal gezien de verhouding 106:107, hetgeen kleiner is dan een komma.(4) Kepler is nogal laconiek over dit verschil: ‘... wie’, zo zegt hij, ‘waagt het met de beweging van saturnus in aphelium om een seconde strijden?’ (... quis ausit in Saturni aphelio motu de uno Secundo contendere?(5)).

Het octaaf G-g nu, wordt gevormd door saturnus in aphelium (1’46’’) en de aarde in aphelium (2 maal 1’47’’ = 3’34’’), waarbij echter goed bedacht moet worden dat de aarde in feite vijf octaven hoger ligt. Dit geldt voor alle ‘noten’ (extreme snelheden) die Kepler binnen een octaaf plaatst: in werkelijkheid ‘klinken’ zij zoveel octaven hoger als machten van twee waarmee zij gereduceerd zijn.

Nadat Kepler het octaaf heeft vastgesteld, gaat hij uit van de snelheid van aarde in aphelium (1’47’’) om de overige intervallen te verkrijgen. Hij doet dit door 1’47’’ te vermenigvuldigen met de harmonische delingen (6), de aldus verkregen getallen vergelijkt Kepler vervolgens met de quotiënten van de delingen uit tabel 2.

De producten komen niet exact, maar slechts ongeveer met de quotiënten uit de tabel (echter wel binnen Keplers marge); alleen voor de beweging van venus P en aarde P kan Kepler geen waarde vinden.(7) Een voorbeeld: 1’47’’ x 5:4 (grote terts) = 2’14’’, hetgeen vrijwel overeenkomt met saturnus in aphelium en jupiter in aphelium (2’15’’). Op deze wijze berekent Kepler alle intervallen.(8)

De verhouding mars A:P als kwint uit tabel 1 kent Kepler in tabel 3 enkel schijnbaar een overmatige kwart toe (c-fis, zie tabel 3), bedacht moet worden dat mars P in werkelijkheid een octaaf boven mars A ligt en dat Kepler allereerst voor mars A een f berekent: mars A f3 en marsP c4 verhouden zich zo als een kwint. Keplers reden om een fis te noteren is is dat de fis dichter bij 3’17’’ ligt, en dat, volgens Kepler, de fis steeds vaker in de muziek gebruikt wordt.(9)
Uitwerking: 2 x 1’47’’ = 3’34’’ (het octaaf van g van G); 3’34’’ x 8:9 = 3’10’’+ voor f3, terwijl 3’34’’ x 15:16 = 3’20’’ voor fis3 iets dichter bij mars A 3’17’’ ligt. In werkelijkheid ligt mars A (3’17’’) dus tussen f3 (3’10’’) en fis 3 (3’20’’).

Om het tweede toongeslacht (cantus mollis) te verkrijgen herhaalt Kepler het procédé maar ditmaal neemt hij saturnus in perihelium (2’15’’) als laagste toon G (10) (in feite transponeert Kepler zijn eerste toonladder een grote terts omhoog). De intervallen worden op dezelfde wijze als de eerste maal afgeleid, maar nu door 2’15’’ met de harmonische delingen te vermenigvuldigen.
Bijvoorbeeld: 2’15’’ x 8:9 = 2’32’’, hetgeen vrijwel overeenkomt met mercurius in aphelium. De overige intervallen in het tweede toongeslacht worden evenzo afgeleid, ditmaal kan Kepler voor venus A en mars P geen waarden afleiden (daarnaast ontbreekt saturnus in aphelium).(11) Tabel 3 (12) toont een overzicht van de resultaten van deze berekeningen:

Tabel 3
Planeetbewegingen in twee toongeslachten

1 extreme hoeksnelheid	2 saturnus A = G	3 saturnus P = G
4’30’’ jupiter A	(B octaaf lager)	g 4’30’’
3’39’’- aarde P	-	bijna e 3’45’’
3’34’’ aarde A	g 3’34’’	dis 3’36’’
3’17’’ mars A	fis 3’21’’	bijna d 3’23’’
3’3’’+ venus P	-	c 3’0’’
3’0’’ mercurius P	bijna e 2’58’’	c 3’0’’
2’58’’ venus A	e 2’58’’	-
2’45’’ jupiter P	bijna d 2’41’’	Bes 2’42’’
2’34’’ mercurius A	bijna cis 2’30’’	A 2’32’’
2’23’’ mars P	c 2’23’’	-
2’15’’ jupiter A	B 2’14’’	(g octaaf hoger)
2’15’’ saturnus P	B 2’14’’	G 2’15’’
1’46’’ saturnus A	G 1’46’’	-

Het is volgens Kepler duidelijk dat in de hemel de noten van twee toongeslachten (durus en mollis) voorkomen, de noten waarvan het natuurlijke gezang zich in de muziek bedient (Est igitur in coelo duplici via, et in duobus quasi generibus cantus, expressa scala Musica, seu systema unius Octavae, cum locis omnibus, per quae in Musica traducitur cantus naturalis.(13)).

Deze ‘scala Musica’ zien er als volgt uit (zie ook afbeelding 33, de originelen uit HM.):

Op deze wijze brengt Kepler tussen de twee toongeslachten en de planeetbewegingen verband aan: de extreme hoeksnelheid correspondeert met een toon uit een toonladder.

Afbeeldingen

Tabel 2
afb. 25 ‘Tabel 2' HM V, p. 203

afb. 26 ‘Planeet-toongeslacht' HM V, p. 204

1. Voor een verhandeling over de onstaanswijze van deze twee toongeslachten en hun verhouding met de opkomst van de majeur/mineur tonaliteit in de 17de eeuw, zie Michael Dickreiter, Musiktheoretiker. pp. 160-170 (terug naar tekst)
2. HM. V, p. 202 (305) (terug naar tekst)
3. Naar: HM. V, p. 203 (306) (terug naar tekst)
4. De zogenaamde `didymische’ komma (ook `syntonische’ geheten), 81:80. Een verschijnsel dat ontstaat uit het gegeven dat zuivere octaven, kwinten en tertsen onverenigbaar zijn: het interval van vier op elkaar gestapelde kwinten (c-g-d’-a’-e’’) is iets groter (een didymische komma, 81:80) dan het zelfde interval gemaakt door twee octaven plus een terts (c-c’-c’’-e’’) op elkaar te stapelen. Bijvoorbeeld: (4 kwinten) - (2 octaven + grote terts) = (3:2 + 3:2 + 3:2 + 3:2 = 81:16) - (2:1 + 2:1 + 5:4 = 20:4). Tweede stap, (81:16) - (20:4) = 4 x 81 : 16 x 20 = 324:320 = (4x) 81:80, de didymische komma te groot dus (anders berekend: 81/16 = 5,0625. 20/4 = 5. 5,0625:5 = 1,0125 = 81/80). Kepler hanteert, gezien zijn voorkeur voor polyfonie, de middentoonstemming waarin de didymische komma voorkomt. Zie over stemmingsproblemen verder L.P. Grijp en P. Scheepers, Van Aristoxenos tot Stockhausen. I, pp. 443-451; over Kepler, polyfonie en middentoonstemming, zie ook Michael Dickreiter, Musiktheoretiker. p. 148 e.v., of Daniel P. Walker, `Kepler’s Celestial Music’ loc. cit. p. 229 e.v. (terug naar tekst)
5. HM. V, p. 203 (306). Overigens, Kepler heeft een pagina eerder (HM. V, p. 202/305) opgemerkt dat verschillen die kleiner zijn dan een halve toon verwaarloosd mogen worden. Hoofdstuk negen (het langste - maar ook meest complexe, - 30 van de 72 folio vellen waaruit boek V bestaat) is geheel gewijd aan de verklaring van die verschillen (en het wiskundig bewijs daarvoor). Aangezien deze scriptie niet alleen aan Kepler is gewijd, zou het te ver voeren om in detail dit negende hoofdstuk te behandelen; hierom sluit ik mij dan ook aan bij hetgeen Kepler aan het einde van hoofdstuk vijf opmerkt: `het is voorlopig voldoende om hetgeen dat onderzocht moet worden onder ogen gehad te hebben (HM. V, p. 206/309). Voor een volledige behandeling van het negende hoofdstuk, zie Bruce Stephenson, Heavens. pp. 185-236. (terug naar tekst)
6. Deze delingen werden door Kepler reeds besproken, zie HM. III, p. 22/107 e.v. (hoofdstuk 3). Het zijn uit hoofdstuk 3: 4:5 (grote terts), 3:4 (kwart), 2:3 (kwint) en 3:5 (grote sext); uit hoofdstuk 4: 8:9 (grote secunde) en 15:16 (kleine secunde). (terug naar tekst)
7. HM. V, p. 204 (306) (terug naar tekst)
8. Ibid. pp. 203-204 (306-307) (terug naar tekst)
9. Ibid., p. 204 (306) (terug naar tekst)
10. Volgens Michael Dickreiter (Musiktheoretiker. p. 105) begint Kepler met saturnus op Bes en transponeert hij vervolgens de toonladder een kleine terts omlaag, dit lijkt mij onjuist: Kepler begint op G en rekent daarna `omhoog’. Zie HM. V, p. 204 (306) (terug naar tekst)
11. HM. V, p. 204 (307). Bruce Stephenson (Heavens. p. 159) merkt op dat Kepler wel waarden had kunnen noteren, maar dit om een of andere reden niet heeft gedaan (Stephenson geeft dan ook een aantal voorbeelden van de mogelijkheden die Kepler nog openstonden). (terug naar tekst)
12. Naar: HM. V, pp. 202-205 (306-307); en Bruce Stephenson, Heavens. p. 158 (terug naar tekst)
13. HM. V, p. 205 (307) (terug naar tekst)
14. Naar: HM. V, p. 204 (306)