inhoudsopgaveInhoudsopgave           Platoís ‘Muziek der Sferení vorigevolgende Cicero

 

 

Griekse Muzikale Astronomie

Allereerst wil ik vier kosmologieën(1) beschrijven die achtereenvolgens aan Pythagoras, Ptolemaeus, Philolaos, en (hoewel al behandeld) Plato, toegeschreven worden, om vervolgens de twee systemen van pythagoreïsche planeten-harmonie te behandelen, die op de eerste (Pythagoras) en de tweede kosmologie (Ptolemaeus) gebaseerd werden.
Op de derde kosmologie is geen toonladder gebaseerd, de vierde kosmologie (die van Plato), is al behandeld.
Tot besluit van dit gedeelte zal ik een derde systeem van pythagoreïsche planeten-harmonie behandelen: de toonreeks van Ptolemaeus’ ‘Kanobos-stêle’, die echter niet met de astronomie, maar veeleer met de astrologie verbonden is.

I

Ten eerste, door Pythagoras zelf zou ontdekt zijn dat de aarde een stilstaande bol is die in het middelpunt van de kosmos staat, waaromheen de hemellichamen gelijkmatig en cirkelvormig bewegen. De gelijkmatigheid en de cirkelvormigheid van de planetenbanen werd a priori vastgesteld, vanwege de aanname dat dergelijke ‘goddelijke lichamen’ niet anders dan volkomen bewegingen zouden volvoeren. De meest volkomen vorm voor de Grieken was de bol, de meest volkomen beweging de cirkel.(2)
Deze doctrine van gelijkmatige en cirkelvormige planetenbanen zou op gezag van Aristoteles, en later Ptolemaeus (100-178 n.Chr.), bijna tweeduizend jaar (tot 1609, het jaar waarin Johannes Kepler Astronomia nova publiceert(3)) de astronomie beheersen. Deze doctrine bracht grote moeilijkheden teweeg inzake de juiste verklaring (het ‘redden der verschijnselen’ - sŤzein t¶ fain“mena) want de planeten bewegen niet gelijkmatig.
Berucht is bijvoorbeeld de retrograde beweging van mars, die vooruit maar ook achteruit lijkt te bewegen. Om dit te verklaren had Ptolemaeus de zgn. epicyclus nodig; voor te stellen als een kleine cirkel die roteert op een grotere cirkel. De planeet is ‘bevestigd’ in de omtrek van de kleine cirkel. Wanneer nu beide cirkels roteren is de retrograde beweging verklaarbaar (zie afbeelding 2 en 3). Kepler vereenvoudigde het oude, mathematisch complexe, systeem door elliptische banen voor te stellen.(4)

Uitgaande van volkomen beweging en volkomen lichamen werd het universum als een aantal ingesloten bollen (sferen) voorgesteld, de bolvormige aarde in het midden, elk volgend hemellichaam bevestigd in de wand van een grotere bol.(5)  In de buitenste bol waren de sterren bevestigd (deze sferen kunnen als werkelijke lichamen worden opgevat, of slechts als loci voor de planetenbanen). De planeten bewogen in volmaakte cirkels rond de aarde, de volgorde van de planeten in deze eerste, en oudste(6), kosmologie was als volgt:

De planeet die het langzaamst om de aarde beweegt is saturnus (bijna dertig jaar voor een omwenteling), de snelste de maan (ongeveer één maand).

In de tweede kosmologie werden venus en mercurius verwisseld, omdat uit verdere waarneming bleek dat mercurius sneller beweegt dan venus. De volgorde die zo ontstaat (maan, mercurius, venus, zon, mars, jupiter en saturnus) was de gebruikelijke tot Copernicus (die immers de zon centraal stelde) en werd met name gecanoniseerd door Ptolemaeus - zie de titelpagina, het systema Ptolemaicum.

Het derde model van de kosmos werd door Philolaos van Croton (eerste helft 5de eeuw v.c.) ontworpen. Belangrijkste punt hierin was dat niet de aarde, maar het zogenaamde ‘centrale vuur’ het middelpunt van de kosmos was. Daaromheen draaiden aarde en ‘tegenaarde’ (een voor ons onzichtbaar hemellichaam want aan de ‘overzijde’ van het centrale vuur mee-draaiend), de zeven hemellichamen en de sterrenhemel. De som van deze is 10 en Philolaos' model is hiermee niets anders dan de kosmologische pendant van de tetraktus.(7) Het tiental kan echter niet in verband met de zeventonige toonladder gebracht worden, zodat Schavernoch spreekt over Philolaos' model als ‘mehr ein mythisches Bild als eine astronomische Theorie ...’(8) Op deze kosmologie is dan ook niet een bepaalde toonladder gebaseerd.
Een vierde en laatste(9) systeem treft men aan in Plato's Timaeus waar de volgorde luidt: maan, zon, venus, mercurius, mars, jupiter en saturnus (zie voorgaand deel).

Op de volgende wijze werd de gedachte dat de bewegende hemellichamen verwant zijn met de muzikale tonen verder uitgewerkt: de planetenbanen werden als een lyra-snaar gedacht die tot een cirkel was gebogen, zodat de planeet met de grootste baan die het langzaamst beweegt, saturnus, de langste ‘snaar’ bezit en dus de laagste toon.
Precies dit treft men aan in de (neo-pythagoreïsche) weergave van de Harmonie der Sferen van Nicomachus van Gerasa (2de eeuw n.Chr.) die de oudste planetenvolgorde koppelt aan een oud toonsysteem. Zijn systeem ziet er als volgt uit: (10)

Deze toonladder is opgebouwd uit twee conjuncte tetrachorden(12) van het diatonische toongeslacht (toonsafstanden 1/2-1-1): e-f-g-a en a-bes-c-d, het oudste heptachord volgens Nicomachus.(13)
De langste snaar in dit eerste systeem van pythagoreïsche planeten-harmonie representeert de langste planeetbaan (saturnus) en brengt het laagste geluid voort, als het ware alsof de cirkelvormige planeetbaan doorgeknipt is en op bijvoorbeeld een lier gespannen. De overige tonen worden op dezelfde wijze afgeleid; deze eerste (en oudste) planeet-toonladder gaat daarmee uit van de reële beweging van de planeten: zij is geordend naar hoe lang een planeet over zijn omwenteling doet (van bijna 30 jaar, saturnus, tot bijna een maand, de maan).

II

Het tweede pythagoreïsche systeem staat hier lijnrecht tegenover, zowel in hoog-laag volgorde van de tonen, als de astronomische waarneming waarop zij is gebaseerd. Deze toonladder is namelijk gebaseerd op de (schijnbare) dagelijkse beweging van de hemellichamen om de aarde. Men ging hierbij uit van de gedachte dat de hemellichamen die verder van de aarde afstaan een grotere baan hebben en dus een hogere snelheid moeten hebben om in 24 uur rond te kunnen gaan.
Er spelen namelijk twee rotaties mee: de eigen beweging van de planeten om de zon en de beweging van de aarde om zijn as. Wanneer nu voor beide bewegingen de aarde als stilstaand centraal punt wordt genomen, houden de planeten hun reële eigen beweging (of nu zon of aarde als uitgangspunt wordt genomen is niet zo belangrijk: planeten zullen in periode x naar hun uitgangspunt bewegen), maar zij hebben ook een schijnbare dagelijkse beweging, daar niet de hemellichamen, maar de aarde roteert. In 24 uur lijken de hemellichamen (nu met de sterrenhemel) dus rond de aarde te bewegen, een lichaam in een grotere baan moet dus wel sneller bewegen. Een grotere snelheid impliceert echter ook een hogere toon! Dit had als gevolg dat de maan (kleinste baan) nu de laagste toon en saturnus een hogere krijgt.(14)
Toevoegingen aan dit systeem zijn de aarde en de sterrenhemel, zodat er een negentonige toonladder ontstaat. Maar behalve de schijnbare dagelijkse snelheden, werden ook de afstanden tussen de hemellichamen in deze toonladder betrokken. En hoewel bijvoorbeeld Aristarchus van Samos (310-230 v.c.) of Eratosthenes van Cyrene (276-195 v.c.) de juiste grootte van de aarde, maar ook de afstand van de aarde naar de maan opvallend precies berekenden met de beperkte wiskunde die hun ten dienste stond(15), toch waren de Grieken niet in staat de juiste afstanden tussen alle hemellichamen te berekenen.
De afstand van 126.000 stadia (een stúdion, de Griekse afstandmaat, is ongeveer 185 meter) tussen aarde en maan die Censorinus(16) (eerste helft 3de eeuw n.c.) noemt en waarvan hij de ontdekking aan Pythagoras toeschrijft is zuiver speculatief.(17) Een hele toon (tussen aarde en maan) werd geacht 126.000 stadia te zijn, een halve toon de helft, dus 63.000 stadia. De toonladder waarin deze gegevens zijn ondergebracht ziet er als volgt uit:

De toonladder is afgeleid uit het chromatische toongeslacht (toonsafstanden 1/2-1/2-11/2). Er zijn twee tetrachorden: e-f-ges-a en b-c’-des’-d’: het middengedeelte uit het ‘Volledige systeem’; met daaraan toegevoegd de onderste toon d. De hoogste toon (d’) is niet conform de juiste toonsafstand (11/2), dit had een e’ moeten zijn.(18)
Deze toonladder, het tweede systeem van pythagoreïsche planeten-harmonie, wordt door bijvoorbeeld Censorinus en Theon van Smyrna gegeven. Een hierop gelijkende toonladder, maar verschillend in de afstand saturnus-sterren (niet 1/2 maar 11/2 toonsafstand), wordt door Gaius Plinius Secundus Maior (‘de oudere’, 23-79 n.c.) gegeven. Martianus Capella(19) (eind 4de eeuw n.c.) geeft dezelfde toonladder als Plinius de oudere, met één verschil: de afstand zon-mars is bij hem niet 1, maar 1/2 toon.(20)
In de verandering van een zeventonige naar een negentonige toonladder, die gebruikt werd om de planeten-harmonie weer te geven, kan de ontwikkeling van de Griekse muziek worden afgelezen, zodat Théodore Reinach naar mijn mening volkomen terecht kan schrijven: ‘Un peu d’attention suffit à montrer que les différents types (toonladders) proposés pour la mélodie des sphères ne sont, en quelque sorte, que la projection, dans l’espace infini, des gammes qui furent, à un moment donné le plus en faveur sur notre petite terre, ou plutôt dans le petit monde grec.’(21)
Want precies dit valt ook in de verdere ontwikkelingen van het idee van de Harmonie der Sferen waar te nemen: Robert Fludd breidt zijn toonladder uit met de Gamma ut (G), de toon G die Guido van Arezzo in Micrologus (1027) als laagste toon aan het toonsysteem toevoegt; Johannes Kepler zal meerstemmige akkoorden, of de verschillende modi, in de planetenbewegingen waarnemen; en Athanasius Kircher zelfs een IV-V-I cadens (hoewel deze meer een aardig voorbeeld is dan gebaseerd op reële astronomische waarnemingen, zoals wel het geval is bij Kepler).

III

Het derde pythagoreïsche systeem van planeten-harmonie lijkt qua omvang op Plato’s systeem, maar is, in tegenstelling tot Plato’s, wèl betrokken op een Grieks toonsysteem, namelijk op de vaste tonen uit het ‘Volledige systeem’ (Systêma teleion).
De vaste tonen werden in het Griekse toonsysteem gebruikt als het raamwerk waarop een bepaalde toonladder, bestaande uit een aantal tetrachorden van een van de drie toongeslachten (diatonisch, chromatisch of enharmonisch - zie ook noot xx), werd gebouwd. Er is hier dus geen sprake van een toonladder, maar veeleer van een toonreeks.
Dit derde systeem is afkomstig uit het werk van Ptolemaeus(22) en het zag er als volgt uit: (23)

De getallen, en daarmee de afstanden tussen de tonen, doen denken aan Ptolemaeus’ Harmonika, daarin deelt Ptolemaeus de cirkel van de dierenriem (360o) volgens de proporties waaraan de intervallen van de toonladder ontspringen. Dus door de helft (180o) geeft het octaaf (2:1); hiermee komen de getallen 36 en 18 overeen, echter een factor 10 kleiner. De overige intervallen worden evenzo afgeleid. Een bijzonderheid is de verdeling van de plaats die de aarde inneemt, deze is verdeeld in de vier elementen (aarde/water/lucht/vuur). Van de aarde als geheel beloopt deze toonreeks twee octaven: (8)-9-18-36, (A)-B-b-b'.(24)

Deze verdeling heeft, zoals Hans Schavernoch opmerkt(25), niets met astronomische waarneming te doen: met reële noch schijnbare snelheden van de planetenbanen, noch met de afstanden tussen de planeten of de lengte van hun banen, of zelfs de (schijnbare) hoeksnelheden. Bovenstaande verdeling heeft veeleer met de astrologie te maken: de oppositie (180o), wanneer de planeten of aspecten van de dierenriem, bijv. Ram tegenover Weegschaal etc. tegenover elkaar staan (een verschijnsel dat bijzondere krachten zou hebben), met het octaaf; de trigoon (120o) met de kwint, en de kwadratuur (90o) met de kwart.(26)

 

Afbeeldingen (terug)


afb. 2 ‘Retrograde beweging van de planeet marsí uit: David C. Lindberg, The Beginnings of Western Science. p. 91

 


afb. 2b ‘Retrograde beweging verklaard door epicyclií ibid. p. 101

 


1. Wat betreft deze kosmologieën, zie ook genoemde literatuur in de inleiding, noot 2. (terug naar tekst)
2. Zie Hans Schavernoch, Sphären. p. 47 e.v. (terug naar tekst)
3. Zie bijvoorbeeld E.J. Dijksterhuis, De Mechanisering van het Wereldbeeld. p. 338 e.v., Alexandre Koyré The Astronomical Revolution. p. 241-264 e.a. Maar zie ook genoemde andere literatuur (inleiding, noot 2). (terug naar tekst)
4. Ibid. (terug naar tekst)
5. Zo geeft bijvoorbeeld Plato de bouw van de kosmos weer in de Staat (617 B-C). Maar zie ook David C. Lindberg, The Beginnings of Western Science. p. 41-45 en 89-105; of andere literatuur noot 3/inleiding, noot 2. (terug naar tekst)
6. Carl von Jan (‘Die Harmonie der Sphären’ loc. cit. p. 18-19) beschouwt de platonische volgorde van de hemellichamen als de oudste. Hans Schavernoch, (Sphären. p. 52 - noot 139) wijst echter op moderner onderzoek dat heeft uitgewezen dat de platonische, hoewel oud, niet de oudste planetenvolgorde is. Hierom volg ik Schavernoch. (terug naar tekst)
7. Zie Hans Schavernoch, Sphären. p. 53; Emile de Strycker, Beknopte geschiedenis. p. 29-30; of Edward A. Lippman, Musical Thougt. p. 14-15 (terug naar tekst)
8. Hans Schavernoch, Sphären. p. 53 (terug naar tekst)
9. Niet onvermeld mogen hiernaast blijven het systeem van Hiketas (5de eeuw v.Chr.) en Ekphantos van Syracuse (4de eeuw v.Chr.) die beiden stelden dat de aarde in het middelpunt van de kosmos om haar eigen as roteerde; en het heliocentrische systeem van Aristarchos van Samos (310-230 v.Chr.), die 1800 jaar vóór Copernicus de zon in het middelpunt van de kosmos stelde. Zie Hans Schavernoch, Sphären. p. 49; voor meer informatie zie de literatuur vermeld in noot 2. (terug naar tekst)
10. Nicomachus van Gerasa, Harmonikon encheiridion. caput 3. ed. Carl von Jan, Musici Scriptores Graeci. p. 241-242. maar zie ook L.P. Grijp en P. Scheepers (red.), Van Aristoxenos tot Stockhausen. I. p. 41-52 (terug naar tekst)
11. De Griekse namen die Nicomachus geeft, zie Harmonikon encheiridion. caput 3. ed. Von Jan p. 242 (het zijn overigens dezelfde goden: Saturnus=Kronos, etc.). (terug naar tekst)
12 Het Griekse toonsysteem kent 3 toongeslachten, die ontstaan door de toonsafstanden binnen twee ‘vaste’ tonen te variëren: het diatonische tetrachord (toonsafstanden 1/2 1 1: e-f-g-a), het chromatische tetrachord (1/2 1/2 11/2: e-f-ges-a) en het enharmonische tetrachord (1/4 1/4 2: e-e+-f-a, + betekent kwarttoon). Meerdere tetrachorden kunnen aaneengesloten worden, waardoor een toonladder ontstaat. Hierbij zijn er twee mogelijkheden: een toonladder van twee octaven A-a-a’, het zgn ‘Volledige systeem’ (Systêma teleion); met tussen de mesê en de eerst volgende toon (de paramesê) een hele toonsafstand, dus a - b. Ten tweede een toonladder van een octaaf en een kwart A-a-d’, het zgn. ‘Gebonden systeem’ (Systêma synêmmenôn); met tussen de mesê en de eerst volgende toon (de tritê synmmênôn) een halve toonsafstand, dus a - bes. De middelste twee tetrachorden zijn dan gebonden (conjunct), bijv. e-f-g-a/a-bes-c’-d’. De toonladder die Nicomachus geeft is gezien de bes dus een gedeelte uit het ‘Gebonden systeem’. Zie hierover verder bijv. L.P. Grijp en P. Scheepers (red.), Van Aristoxenos tot Stockhausen. I. p. 413 e.v. (terug naar tekst)
13. Zie L.P. Grijp en P. Scheepers (red.), Van Aristoxenos tot Stockhausen. I. p. 47 Maar zie ook Théodore Reinach, ‘La musique des sphères’ loc.cit. p. 435. Zijn weergave van Nicomachus’ Sferen-harmonie bevat echter een fout: hij draait de planeten venus en mercurius om. Hieraan wijdt Roger Bragard een kort essay (‘L’harmonie des sphères selon Boèce’ loc. cit.), waarin hij Reinach corrigeert op grond van Nicomachus’ tekst. Bragard stelt daarnaast een emendatie voor op grond van het feit dat in Nicomachus’ tekst sprake is van een octaaf (diapason): Bragard komt zo tot het voorstel e’-d’-b-a-g-f-e. Hierin heeft de b een plaats. In Van Aristoxenos tot Stockhausen (I. p. 52) wordt eveneens stilgestaan bij de betekenis van het woord diapason: ‘Gewoonlijk wordt met deze uitdrukking (diapason) het octaaf aangeduid, hoewel zij letterlijk alleen ‘door alle (tonen)’ betekent. En zo moet het hier ook worden geïnterpreteerd: †alle tonen van het heptachord, ook al vormen zij hier toevallig een septime.’ Vanwege deze aanname ga ook ik uit van een septime. (terug naar tekst)
14. Zie hierover ook Carl von Jan, ‘Die Harmonie der Sphären’ loc. cit. p. 21 e.v. en Hans Schavernoch, Sphären. p. 56 e.v. (terug naar tekst)
15. Zie Albert van Helden, Measuring the Universe. Cosmic Dimensions from Aristarchus to Halley. Chicago/London, The University of Chicago Press, 1985. p. 4 e.v. (terug naar tekst)
16. Censorinus, De die natali. caput 13 (de verschijningsdatum van dit werk was 238 n.c.). ed. Otto Jahn, Censorini. De Die Natali Liber. Berlin, 1845. Herdruk: Amsterdam, Editions Rodopi, 1964. p. 31-33 (terug naar tekst)
17. Zie Hans Schavernoch, Sphären. p. 57 e.v. (terug naar tekst)
18. Théodore Reinach geeft een interessante verklaring voor de twee verschillende toonladders (d’ als hoogste of e’ als hoogste), hij vergelijkt ze namelijk met de enharmonische toonladders van de ‘alleroudsten’ die Aristides Quintillianus (eind 3de, begin 4de eeuw n.c.) in zijn werk Peri mousikês geeft. Deze toonladders worden bijv. in Plato’s Staat (Boek III, hoofdstuk 10 e.v./399A e.v.) genoemd. Kenmerk van deze toonladders was dat de tetrachorden waaruit zij opgebouwd werden twee kwarttonen bevatten (de volgorde was: 1/4 1/4 2 toonsafstanden). De toonladders die Censorinus en Theon geven (d-e-f-ges-a-b-c’-des’-d’) zijn volgens Reinach afgeleid van ‘le mode phrygien enharmonique’, met de tonen d-e-e+-f-a-b-b+-c-d (+ wil zeggen een kwarttoon). De toonladders van Plinius en Martianus (Reinach verhoogt de 1/2 toonsafstand tussen zon en mars bij Martianus tot 1 hele), te weten d-e-f-ges-a-b-c’-des’-e’ zou dan volgens Reinach overeenkomen met ‘l’enneachorde dorien enharmonique’: d-e-e+-f-a-b-b+-c’-e’. De verwarring is ontstaan doordat de enharmonische toongeslachten op een gegeven moment in onbruik raakten, dit betekende ook dat de kennis ervan verdween en zo las en noteerde men in later tijden het chromatisch in plaats van het enharmonisch toongeslacht; met als gevolg dat de e+ een f werd, de f een ges - enzovoorts. Zie Théodore Reinach, ‘La musique des sphères’ loc.cit. p. 437-445. Maar ook L.P. Grijp en P. Scheepers (red.), Van Aristoxenos tot Stockhausen. I. p. 85. Overigens, hier wordt op de g begonnen en niet op de d zoals Reinach, maar dit is weinig belangrijk. Zie echter ook Erich Franck, Plato. p. 6 e.v. over de ontwikkelingen naar enharmonisch, chromatisch en diatonisch systeem en de beleving van deze door de Grieken. (terug naar tekst)
19. Een ander, vermeldenswaardig punt inzake de weergave van de Sferen-harmonie door Martianus Capella is dat hij de negen sferen gelijkstelt met de negen muzen: sterren-Urania, saturnus-Polyhymnia, jupiter-Euterpe, mars-Erato, zon-Melpomene, venus-Terpsichore, mercurius-Calliope, maan-Clio en de aarde tenslotte met Thalia. Zie Hans Schavernoch, Sphären. p. 87; maar zie ook de literatuur over de muzen en de Sferen-harmonie vermeld in noot xx. (terug naar tekst)
20. Censorinus, De die natali. c. 13; Theon van Smyrna, Tôn kata aritmêtikên chresimôn eis tên tou Platônos anagnôsin. II, 15; Martianus Capella, De nuptiis philologiae et mercuriis. II, 169 e.v.; Gaius Plinius Secundus, Historia naturalis. II, 20 e.v. Zie hierover verder Carl von Jan, ‘Die Harmonie der Spären’ loc. cit. p. 21 e.v.; Théodore Reinach, ‘La musique des sphères’ loc. cit. p. 437-445; en Hans Schavernoch, Sphären. p. 58 e.v. (over Martianus Capella p. 85 e.v.). Vertalingen van de betreffende fragmenten van Censorinus, Plinius, en Theon (maar daarnaast ook Nicomachus van Gerasa), zijn ook te vinden in Joscelyn Godwin, The Harmonies of the Spheres. A Sourcebook of the Pythagorean Tradition in Music. Rochester (Vermont), Inner Traditions International, 1993. (terug naar tekst)
21. Théodore Reinach, ‘La musique des sphères’ loc. cit. p. 434 (terug naar tekst)
22. De toonreeks is een afschrift van de zgn. ‘Kanobos-stêle’, een zuil in opdracht van Ptolemaeus in 148 n.c. bij Alexandrië aan de westelijke Nijlmonding opgericht, waarop een aantal resultaten van Ptolemaeus’ astronomische onderzoekingen waren gegraveerd. De zuil is verloren gegaan, de inscriptie is bewaard gebleven. Zie Hans Schavernoch, Sphären. p. 82-84; of Carl von Jan, ‘Die Harmonie der Sphären’ loc. cit. p. 26-37. De betekenis van de tekst in combinatie met de getallen is echter omstreden, zo is er een aantal oplossingen denkbaar wat betreft de volgorde van de hemellichamen. Ik heb die van Schavernoch overgenomen, waarin de aarde (aarde/water-lucht/vuur) twee plaatsen krijgt en mercurius/venus één. Denkbaar is ook, zoals Von Jan doet (op. cit. p. 30), de aarde één plaats en mercurius/venus twee. Zie hierover ook Bruce Stephenson, The Music of the Heavens. Princeton, Princeton U.P., 1994.; en wat betreft het werk van Ptolemaeus: J.L. Heiberg (ed.), Claudii Ptolemaei opera quae exstant omnia. Leipzig, Teubner, 1907. (‘Kanobos-toonreeks’: II, p. 149-155). (terug naar tekst)
23. De ‘mesê hyperbolaion’ is geen toon in het Griekse toonsysteem, de a’ is de hoogste. (terug naar tekst)
24. Zie Hans Schavernoch, Sphären. p. 83 (terug naar tekst)
25. Ibid. (terug naar tekst)
26. Ibid. Over de verdere verbindingen tussen de dierenriem (astrologie) en muziek in Ptolemaeus’ Harmonika, zie L.P. Grijp en P. Scheepers, Van Aristoxenos tot Stockhausen. I. p. 75-78

begin